On the number of residues of certain second-order linear recurrences

For every monic polynomial f ∈ Z[X] with deg(f ) ≥ 1, let L (f ) be the set of all linear recurrences with values in Z and characteristic polynomial f , and let R(f ) := © ρ(x;m) : x ∈ L (f ), m ∈ Z + ª , where ρ(x;m) is the number of distinct residues of x modulo m. Dubickas and Novikas proved that R(X 2 − X − 1) = Z +. We generalize this result by showing that R(X 2 − a1X −1) = Z + for every nonzero integer a1. As a corollary, we deduce that for all integers a1 ≥ 1 and k ≥ 2 there exists ξ ∈ R such that the sequence of fractional parts ¡ frac(ξαn ) ¢ n≥0 , where α := ¡ a1+ q a 2 1 +4 ¢ /2, has exactly k limit points. Our proofs are constructive and employ some results on the existence of special primitive divisors of certain Lehmer sequences. Résumé. Pour chaque polynôme monique f ∈ Z[X] avec deg(f ) ≥ 1, soit L (f ) l’ensemble de toutes les récurrences linéaires avec des valeurs dans Z et un polynôme caractéristique f , et soit R(f ) := © ρ(x;m) : x ∈ L (f ), m ∈ Z + ª , où ρ(x;m) est le nombre de résidus distincts de x modulo m. Dubickas et Novikas ont prouvé que R(X 2 − X − 1) = Z +. Nous généralisons ce résultat en montrant que R(X 2 − a1X − 1) = Z + pour tout entier non nul a1. Comme corollaire, nous déduisons que pour tous les entiers a1 ≥ 1 et k ≥ 2, il existe ξ ∈ R tel que la séquence des parties fractionnaires ¡ frac(ξαn ) ¢ n≥0 , où α := ¡ a1 + q a 2 1 +4,¢ /2, a exactement k points de limite. Nos preuves sont constructives et utilisent certains résultats sur l’existence de diviseurs primitifs spéciaux de certaines séquences de Lehmer