L'uso delle funzioni parte intera e mantissa nei processi di campionamento e quantizzazione

Le funzioni parte intera floor(x)=E(x) e mantissa Frac(x)=M(x) vengono utilizzate in molti linguaggi di programmazione e sono implementate in molti sistemi di computer algebra (C.A.S.). Nei corsi di Analisi Matematica vengono definite e studiate per le loro particolari proprietà che le rendono diverse dalle funzioni tradizionali che normalmente vengono proposte, ma non sono valorizzate per la loro importanza nelle applicazioni. Il seguente articolo mostra come possono essere utilizzate, ad esempio, per descrivere i processi di quantizzazione e campionamento sui quali si basa la conversione di un segnale analogico, cioè una funzione continua dipendente dal tempo, in forma digitale. I segnali del mondo reale infatti sono funzioni continue, ma un elaboratore digitale è in grado di operare solo ad intervalli di tempo discreti, cioè i valori del segnale sono acquisiti in corrispondenza di istanti intervallati solitamente di un periodo fisso. Pertanto le ampiezze del segnale devono essere prelevate solo in determinati istanti ed approssimate scegliendo un numero finito di valori rappresentativi. Come riportato nei paragrafi seguenti, si può realizzare il campionamento o la quantizzazione di una funzione continua componendola con la parte intera, a seconda che si scelga la parte intera come funzione interna o esterna della composizione, cioè si consideri la funzione composta g=f[E(x)] oppure g=E[f(x)]. L’utilizzo della mantissa invece permette di determinare l’errore di quantizzazione, cioè l’errore che si commette nell’approssimare il valore analogico di un segnale campionato con il valore digitale che gli viene assegnato.